Question

（2011?郑州模拟）如图所示，矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场；在y≥0的区域内还存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．半径为R的光滑绝缘空心半圆细管ADO固定在竖直平面内，半圆管的一半处于电场中，圆心O₁为MN的中点，直径AO垂直于水平虚线MN．一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点）从圆管的A点由静止滑入管内，从O点穿出后恰好通过O点正下方的C点．已知重力加速度为g，电场强度的大小E=

4mg

3q

．求：
（1）小球到达O点前一时刻，圆管对它作用力的大小；
（2）矩形区域MNPQ的高度H和宽度L应满足的条件；
（3）从O点开始计时，经过多长时间小球的动能最小？

Answer 1

分析：（1）小球从A到O的过程，运用动能定理求得O点速度，到达O点前一时刻，根据牛顿第二定律求得作用力．
（2）小球从O到C 的过程中，水平方向做匀减速运动，竖直方向做自由落体运动，运用运动的合成与分解，把加速度分解，分别在水平方向上和竖直方向上求位移．
（3）当F_合与速度v的方向垂直时，小球的动能最小，把运动分解到水平方向上和竖直方向上求解时间．

解答：解：（1）小球从A到O的过程，由动能定理得mg(2R)-qER=

1

2

m

v

2 0

v0=

4gR 3

到达O点前一时刻，根据牛顿第二定律   FN-mg-qv0B=

m v 2 0

R

圆管对小球的作用力         FN=

7

3

mg+qB

4gR 3

（2）小球从O到C 的过程中，水平方向做匀减速运动，竖直方向做自由落体运动
ax=

4

3

g
a_y=g
设向左减速时间为t
t=

v0

a

=

3R 4g

水平位移大小       x=

1

2

v0t=

R

2

竖直位移大小       y=

1

2

g(2t)2=

3R

2

高度满足条件H≥

3R

2

+R=

5

2

R   
宽度应满足L≥

R

2

+R=

3R

2

（3）当F_合与速度v的方向垂直时，小球的动能最小，
设经过的时间为t
vy=gt，vx=v0-axt=v0-

4g

3

t
cotθ=

qE

mg

=

4

3

，
v_y=v_xcotθ；
可解得t=

8

25

3R g

法二：vy=gt，vx=v0-axt=v0-

4g

3

t
v2=v2x+v2y=

25g2

9

t2-

8

3

g

4gR 3

t+

4gR

3

当t=

8

25

3R g

时，函数v²有最小值，动能有最小值．
答：（1）小球到达O点前一时刻，圆管对它作用力的大小为FN=

7

3

mg+qB

4gR 3

．
（2）矩形区域MNPQ的高度H满足的条件为H≥

3R

2

+R=

5

2

R；宽度L应满足的条件为L≥

R

2

+R=

3R

2

．
（3）从O点开始计时，经过t=

8

25

3R g

，小球的动能最小．

点评：运用动能定理解题需合适地选取研究的过程，根据动能定理列出表达式求解．此题有一定的难度，属于中档题．