Question

8．如图所示，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径为r的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k的轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐．质量为m的滑块在曲面上距BC的高度为2r处从静止开始下滑，滑块与BC间的动摩擦因数μ=0.5，进入管口C端时与圆管恰好无作用力，通过CD后压缩弹簧，在压缩弹簧过程中滑块速度最大时弹簧的弹性势能为E_P．重力加速度为g．求：
（1）小球达到B点时的速度大小v_B；
（2）水平面BC的长度s；
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）A到B的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律求出小球到达B点的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出小球在C点时的速度，根据动能定理求出水平面BC的长度．
（3）当小球重力和弹簧弹力相等时，小球的速度最大，根据功能关系求出小球的最大速度

解答 解：（1）A到B的过程中只有重力做功，由机械能守恒得：
mg•2r=$\frac{1}{2}$mv_B²
得：v_B=2$\sqrt{gr}$
（2）进入管口C端时与圆管恰好无作用力，重力提供向心力，由牛顿第二定有：mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{r}$
由动能定理得：mg•2r-μmgs=$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：s=3r
（3）设在压缩弹簧过程中速度最大时小球离D端的距离为x，则有：kx=mg
由功能关系得：mg（r+x）-E_P=$\frac{1}{2}$mv_m²-$\frac{1}{2}$mv_C²
得：v_m=$\sqrt{3gr+\frac{2m{g}^{2}}{k}-\frac{2{E}_{p}}{m}}$．
答：（1）小球达到B点时的速度大小是2$\sqrt{gr}$；
（2）水平面BC的长度是3r；
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大速度是$\sqrt{3gr+\frac{2m{g}^{2}}{k}-\frac{2{E}_{p}}{m}}$．

点评 本题综合运用了机械能守恒定律、动能定理、功能关系以及牛顿第二定律，综合性较强，是高考的热点题型，需加强这方面的训练．