Question

14．如图，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的．飞镖A与竖直墙壁成α角，飞镖B与竖直墙壁成β角；两者相距为d，假设飞镖的运动是平抛运动．求：
（1）射出点离墙壁的水平距离；
（2）若在该射出点水平射出飞镖C，要求它以最小动能击中墙壁，则C的初速度应为多大？
（3）在第（2）问情况下，飞镖C与竖直墙壁的夹角多大？射出点离地高度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）两只飞镖水平射出，都做平抛运动，水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向的分运动是自由落体运动，根据速度的分解，用竖直方向的分速度分别表示出两个飞镖的初速度，由水平距离与初速度之比表示两个飞镖运动的时间、两个飞镖竖直距离之差等于d，即可求解水平距离．
（2）将飞镖的运动沿水平方向与竖直方向分解，写出飞镖的动能的表达式，确定动能最小的条件，然后即可求出；
（3）在（2）的条件下，将竖直方向的位移公式代入即可求出．

解答 解：（1）设水平距离为S，镖的初速度为v₀，竖直分速度为v_y，速度与竖直方向的夹角为θ．
则v_y=v₀cotθ=gt
  v₀=$\frac{S}{t}$
联立解得：t²=$\frac{Scotθ}{g}$
下落高度h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{1}{2}$Scotθ
则由题有：h_A=$\frac{1}{2}$S•cotα，
h_B=$\frac{1}{2}$S•cotβ
又 h_B-h_A=d
解得：S=$\frac{2d}{cotβ-cotα}$
（2）设飞镖到达墙壁时的速度为v，则：
到达墙壁的动能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m•\frac{{v}_{0}^{2}}{{sin}^{2}θ}$
由于：$\frac{{v}_{0}^{2}}{{sin}^{2}θ}$=$\frac{（\frac{S}{t}）^{2}}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{\frac{{S}^{2}}{\frac{S•cotθ}{g}}}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{gS}{sinθcosθ}$
可知当sinθ•cosθ最大时，飞镖的动能最小，由三角函数的关系可知，sinθ•cosθ最大时θ=45°．
联立以上的方程，θ=45°时，得：${v}_{0}=\frac{S}{t}=\sqrt{gS}$=$\sqrt{\frac{2gd}{cotβ-cotα}}$
（3）在（2）的情况下，若飞镖不落地，则最小的高度：${h}_{min}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}g•\frac{Scot45°}{g}=\frac{1}{2}S$=$\frac{d}{cotβ-cotα}$
答：（1）射出点离墙壁的水平距离是$\frac{2d}{cotβ-cotα}$；
（2）若在该射出点水平射出飞镖C，要求它以最小动能击中墙壁，则C的初速度应为$\sqrt{\frac{2gd}{cotβ-cotα}}$；
（3）在第（2）问情况下，飞镖C与竖直墙壁的夹角是45°．射出点离地高度应满足h≥$\frac{d}{cotβ-cotα}$．

点评 该题将日常中常见的飞镖运动与平抛运动相结合进行考查，因涉及最小值问题，难度比较大．解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解．