Question

2．如图所示，AB是与水平面成37°的绝缘光滑倾斜长直轨道，B点为长直轨道的底端，图中圆弧CD是半径为0.5m的半圆绝缘轨道，虚线CD为直径，两个轨道在同一竖直平面内，在分别过B、C两点的竖直虚线之间的空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场，过B点的竖直虚线的右侧的整个空间存在水平向左的匀强电场，质量为0.20kg的可视为质点的带正电小球从直轨道上由静止开始沿斜面下滑，到达B点后离开直轨道，沿BC方向做匀速直线运动，并恰好沿着圆弧的切线方向进入半圆绝缘轨道运动，最后刚好能通过D点，已知小球在长直轨道上下滑的竖直高度h=3.20m，不计空气阻力，且小球带电量保持不变，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小球从B到C的运动过程中洛仑兹力和电场力的大小；
（2）小球在半圆形轨道上从C点运动到D点时，克服摩擦力所做的功W；
（3）如果小球从D点飞出时立即撤去磁场，小球刚好落在直轨道上的B点，则BC间的长度应该为多长．

Answer 1

分析 （1）根据小球刚好能到达D点，由重力和电场力的合力提供向心力，求出电场力的大小．根据小球在BC做匀速直线运动，受力平衡，求出洛伦兹力的大小．
（2）对于AB段，根据机械能守恒求出小球通过B点的速度．由牛顿第二定律求出D点的速度，再研究CD段，由动能定理求克服摩擦力所做的功W．
（3）如果小球从D点飞出时立即撤去磁场，小球此时所受到的合力正好与速度垂直，所以小球从D点开始做类平抛运动，利用类平抛运动规律和几何关系可求解BC间的长度．

解答 解：（1）据题小球刚好能通过D点，由重力和电场力的合力提供向心力，则小球所受的电场力大小为：
F_E=mgtan37°=0.2×10×$\frac{3}{4}$N=1.5N
小球在BC段做匀速直线运动，受力平衡，则得洛伦兹力大小为：
F_B=$\frac{mg}{cos37°}$=$\frac{2}{0.8}$N=2.5N
（2）小球从A到B过程，根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mgh，
解得：v_B=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×3.2}$=8m/s
小球通过D点时，由牛顿第二定律得：$\frac{mg}{cos37°}$=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得：v_D=2.5m/s
小球从C到D过程，由动能定理得：
-mg•2Rcos37°-2F_ERsin37°-W=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
又 v_C=v_B，
解得 W=3.275J
（3）如果小球从D点飞出时立即撤去磁场，小球离开D点后做类平抛运动运动，设BC间的长度为L．小球沿DC方向：做匀加速直线运动，加速度大小为：
a=$\frac{{F}_{合}}{m}$=$\frac{2.5}{0.2}$=1.25m/s²；
2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
垂直于DC方向：小球做匀速直线运动，则有：L=v_Dt
联立得：L=$\frac{2}{5}\sqrt{10}$m
答：
（1）小球从B到C的运动过程中洛仑兹力是2.5N，电场力的大小为1.5N；
（2）小球在半圆形轨道上从C点运动到D点时，克服摩擦力所做的功W为3.275J；
（3）如果小球从D点飞出时立即撤去磁场，小球刚好落在直轨道上的B点，则BC间的长度应该为$\frac{2}{5}\sqrt{10}$m．

点评 本题的关键要正确分析小球的受力情况，判断其运动情况．小球从D点飞出后，正好受到重力与电场力且这两个力的合力与速度垂直，刚好做类平抛运动，能熟练运用运动的分解法研究．