Question

8．如图所示，两根平行放置的金属导轨COD、C′O′D′，导轨OC、O′C′部分粗糙，处在同一水平面内，其空间有方向水平向左、磁场强度B₁=$\frac{25}{8}$T的匀强磁场，导轨OD、O′D′部分光滑足够长，与水平面成30°，某空间有方向垂直于导轨向上，磁感应强度B₂=1T的匀强磁场．OO′的连线垂直于OC、O′C′，金属杆M垂直导轨放置在OC段处，金属杆N垂直导轨放置在OD段上且距离O点足够远处，已知导轨间相距d=1m，金属杆与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.4，两杆质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω．
（1）若金属杆N由静止释放，求其沿导轨OC下滑的最大速度v_m；
（2）若使金属N在平行导轨的外力F作用下，由静止开始沿导轨向下加速度a=2m/s²的匀加速运动，求t=2s时的外力F；
（3）在第（2）问中，金属杆N运动的同时也给金属杆M向左的初速度v₁=4m/s，求当金属杆M停止运动时，金属杆N沿OD下滑的距离s．

Answer 1

分析 （1）金属杆N由静止释放后，由于M杆受到的安培力竖直向下，则其始终保持静止．当N杆切割磁感线时，产生的感应电流增大、受到的安培力也增大，从而加速度减小到零时，N杆的速度达到最大，由平衡条件、安培力、欧姆定律等可以求得最大速度．
（2）N杆在外力作用下以已知的加速度加速2s，则此时的速度、感应电动势、感应电流、安培力、等都能求出，由牛顿第二定律就能求出此时的外力大小和方向．
（3）在前一问的基础上，同时给M杆一初速度，由于受到变化的摩擦力作用向左减速运动，由牛顿第二定律、安培力、滑动摩擦力、欧姆定律等表示出M杆的加速度表达式，从表达式可以看出随时间的变化关系，从而平均加速度可以用始末加速度的平均值表示，M杆速度的变化为-4m/s，这样M杆静止的时间能求出．对N杆而言，时间求出，则在斜面上下滑的距离由匀加速直线运动位移公式求出．

解答 解：（1）金属杆N在斜轨道下滑过程中，由于金属杆M受到垂直导轨向下的力的作用，所以M棒始终处于静止状态．
    对N棒，只有当受到的合力为零时，速度达到最大．则有：
        $mgsin30°={B}_{2}•\frac{{B}_{2}d{v}_{m}}{2R}•d$    
    所以  ${v}_{m}=\frac{2mgRsin30°}{{{B}_{2}}^{2}{d}^{2}}=\frac{2×1×10×0.5×0.5}{{1}^{2}×{1}^{2}}m$=5m/s
（2）金属N在平行导轨的外力F作用下，由静止开始沿导轨向下以加速度a=2m/s^2做匀加速运动，则t=2s时N棒的速度：
          v=at=2×2=4m/s
   感应电流：$I=\frac{{B}_{2}dv}{2R}=\frac{1×1×4}{2×0.5}A=4A$
   此时切割产生感应电流的安培力：F_安=B₂Id=1×4×4N=4N．
   由牛顿第二定律得：F+mgsin30°-F_安=ma    
    代入数据得到：F=1N   正值表示方向沿斜面向下．
（3）金属杆N向下匀减速下滑的过程中，M杆向左做减速运动．
   对M杆，水平方向上有：μF_N=ma_M         ①
                竖直方向上有：mg+B₁Id=F_N     ②
   根据欧姆定律：$I=\frac{{B}_{2}d{v}_{M}}{2R}$                        ③
  而：v_N=at                                        ④
  联立以上四式得：a_M=4+2.5t   
  由此可以看出M杆了加速度随时间均匀增大，当t=0s时，${a}_{1}=4m/{s}^{2}$，设M杆减速到零的时间为t，加速度为 a₂=4+2.5t
  当M杆静止时：$△v=\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{2}t=-4$
  将以上代入得：t=0.8s
对N杆t=0.8s内下滑的距离：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×4×0．{8}^{2}m$=0.64m．
答：（1）若金属杆N由静止释放，求其沿导轨OC下滑的最大速度为5m/s．
（2）若使金属N在平行导轨的外力F作用下，由静止开始沿导轨向下加速度a=2m/s²的匀加速运动，求t=2s时的外力为1N，方向沿斜面向下．
（3）在第（2）问中，金属杆N运动的同时也给金属杆M向左的初速度v₁=4m/s，求当金属杆M停止运动时，金属杆N沿OD下滑的距离为0.64m．

点评 本题的关键在于第三问，N杆匀加速直线运动的同时，给M杆一个初速度，M受向下的安培力增大，加速度增大，M做加速度增大的减速运动，求出加速度的平均值，从而得到其停止的时间，再对N杆而言，由运动学公式就能求出在这段时间内的位移．