Question

20．如图所示，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧-段被弯成半径为$\frac{L}{2}$的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差$\frac{L}{2}$的水平面上．以弧形导轨的末端点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立Ox坐标轴．圆弧导轨所在区域无磁场；左段区域存在空间上均匀分布，但随时间t均匀变化的磁场B（t），如图2所示；右段区域存在磁感应强度大小不随时间变化，只沿x方向均匀变化的磁场B（x），如图3所示；磁场B（t）和B（x）的方向均竖直向上．在圆弧导轨最上端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，金属棒由静止开始下滑时左段磁场B（t）开始变化，金属棒与导轨始终接触良好，经过时间t₀金属棒恰好滑到圆弧导轨底端．已知金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g．
（1）求金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E；
（2）如果根据已知条件，金属棒能离开右段磁场B（x）区域，离开时的速度为v，求金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q；
（3）如果根据已知条件，金属棒滑行到x=x₁位置时停下来，
a．求金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q；
b．通过计算，确定金属棒在全部运动过程中感应电流最大时的位置．

Answer 1

分析 （1）由图看出，左段区域中磁感应强度随时间线性变化，其变化率一定，由法拉第电磁感应定律得知，回路中磁通量的变化率相同，由法拉第电磁感应定律求出回路中感应电动势．
（2）根据欧姆定律和焦耳定律结合求解金属棒在弧形轨道上滑行过程中产生的焦耳热．再根据能量守恒求出金属棒在水平轨道上滑行的过程中产生的焦耳热，即可得到总热量．
（3）在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B₀的一瞬间，在很短的时间△t内，根据法拉第电磁感应定律和感应电流的表达式，求出感应电荷量q．再进行讨论．

解答 解：（1）由图2可知，$\frac{△B}{△t}=\frac{B_0}{t_0}$
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为：$E=\frac{△Φ}{△t}={L^2}\frac{△B}{△t}={L^2}\frac{B_0}{t_0}$…①
（2）金属棒在弧形轨道上滑行过程中，产生的焦耳热为：${Q_1}=\frac{U^2}{R}t=\frac{{{L^4}B_0^2}}{{R{t_0}}}$
金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据机械能守恒定律有：$mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}mv_0^2$…②
金属棒在水平轨道上滑行的过程中，产生的焦耳热为Q₂，根据能量守恒定律有：${Q_2}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}m{v^2}=mg\frac{L}{2}-\frac{1}{2}m{v^2}$
所以，金属棒在全部运动过程中产生的焦耳热为：$Q={Q_1}+{Q_2}=\frac{{{L^4}B_0^2}}{{R{t_0}}}+mg\frac{L}{2}-\frac{1}{2}m{v^2}$
（3）a．根据图3，x=x₁（x₁＜x₀）处磁场的磁感应强度为：${B_1}=\frac{{{B_0}（{x_0}-{x_1}）}}{x_0}$．
设金属棒在水平轨道上滑行时间为△t．由于磁场B（x）沿x方向均匀变化，根据法拉第电磁感应定律△t时间内的平均感应电动势为：
$\overline E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{{L{x_1}\frac{{{B_0}+{B_1}}}{2}}}{△t}=\frac{{{B_0}L{x_1}（2{x_0}-{x_1}）}}{{2{x_0}△t}}$
所以，通过金属棒电荷量为：$q=\overline I△t=\frac{\overline E}{R}△t=\frac{{{B_0}L{x_1}（2{x_0}-{x_1}）}}{{2{x_0}R}}$
b．金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据①式有：${I_1}=\frac{E}{R}=\frac{{{L^2}{B_0}}}{{R{t_0}}}$
金属棒在水平轨道上滑行过程中，由于滑行速度和磁场的磁感应强度都在减小，所以，此过程中，金属棒刚进入磁场时，感应电流最大．
根据②式，刚进入水平轨道时，金属棒的速度为：${v_0}=\sqrt{gL}$
所以，水平轨道上滑行过程中的最大电流为：${I_2}=\frac{E'}{R}=\frac{{{B_0}L\sqrt{gL}}}{R}$
若金属棒自由下落高度$\frac{L}{2}$，经历时间$t=\sqrt{\frac{L}{g}}$，显然t₀＞t
所以，${I_1}=\frac{{{L^2}{B_0}}}{{R{t_0}}}＜\frac{{{L^2}{B_0}}}{Rt}=\frac{{{L^2}{B_0}}}{{R\sqrt{\frac{L}{g}}}}={I_2}$
综上所述，金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大．
答：（1）金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E是${L}^{2}\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$；
（2）金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q为$\frac{{L}^{4}{B}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}$+mg$\frac{L}{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）a．金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q为$\frac{{B}_{0}L{x}_{1}（2{x}_{0}-{x}_{1}）}{2{x}_{0}R}$；
b．金属棒在全部运动过程中金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大．

点评 本题中（1）（2）问，磁通量均匀变化，回路中产生的感应电动势和感应电流均恒定，由法拉第电磁感应定律研究感应电动势是关键．对于感应电荷量，要能熟练地应用法拉第定律和欧姆定律进行推导．