Question

20．如图所示，一轻质弹簧左端固定在足够长的水平轨道左侧，水平轨道的PQ段粗糙，调节其初始长度为l=1.5m，水平轨道右侧连接半径为R=0.4m的竖直圆形光滑轨道，可视为质点的滑块将弹簧压缩至A点后由静止释放，经过水平轨道PQ后，恰好能通过圆形轨道的最高点B．已知滑块质量m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4，轨道其它部分摩擦不计，g取10m/s²，求：
（1）弹簧压缩至A点时弹簧的弹性势能E_p；
（2）若每次均从A点由静止释放滑块，同时调节PQ段的长度，为使滑块在进入圆形轨道后能够不脱离轨道而运动，PQ段的长度l应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）滑块恰好能通过圆形轨道的最高点B时，由重力提供向心力，由向心力公式求出B点的速度．滑块由A点到弹簧压缩到最短的过程中，由功能关系求解弹簧获得的最大弹性势能；
（2）若要使物块不脱离轨道，分两种情况讨论：（i）滑块能够通过B点而不脱离轨道．（ii）滑块能够到达圆形轨道，若物块恰好到达B点，根据功能关系求出PQ段的长度l的范围．

解答 解：（1）设物块冲上圆形轨道最高点B时速度为v，由能量守恒定律得：
   E_pm=$\frac{1}{2}$mv²+2mgR+μmgl                            ①
物块在B点时，重力提供向心力，由牛顿第二定律得：$mg=m\frac{v^2}{R}$ ②
联立①②式并代入数据解得  E_pm=16 J                                  
（2）若要使物块不脱离轨道，分两种情况讨论：
（i）滑块能够通过B点而不脱离轨道，则应满足：l≤1.5m            ③
（ii）滑块能够到达圆形轨道，则应满足：E_pm＞μmgl，解得l＜4m     ④
滑块到达圆形轨道而又不超过与圆心等高的点C时，如图所示，临界条件取到达C点时速度恰好为零，则有
  E_pm≤mgR+μmgl，解得  l≥3m                              ⑤
综合③④⑤式可得PQ段长度l应满足的条件是：
l≤1.5m或3m≤l＜4m                                                

答：
（1）弹簧压缩至A点时弹簧的弹性势能E_p是16J．
（2）PQ段长度l应满足的条件是：l≤1.5m或3m≤l＜4m．

点评 解决本题的关键要明确最高点的临界条件：重力充当向心力．要知道滑块不脱离轨道有两种可能的情况，不能漏解．