Question

15．设地球的半径为R，绕地球运行的卫星的最小公转周期为T，地球的一颗同步卫星的线速度大小为v，不考虑其他天体的影响，仅根据以上物理量．求：
（1）地球表面的重力加速度；
（2）同步卫星的轨道半径；
（3）地球的自转周期．

Answer 1

分析 （1）地球表面重力等于万有引力，结合引力提供向心力，即可求解地球表面的重力加速度；
（2）根据同步卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，即可求解同步卫星的轨道半径；
（3）同步卫星的周期与地球自转周期相同，依据圆周运动线速度公式，从而求解地球的自转周期．

解答 解：（1）地球表面重力与万有引力相等，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
可得：GM=gR²
绕地球运行的卫星的最小公转周期为T，即有运行轨道半径最小，依据引力提供向心力，则有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
解得：g=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
（2）同步卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{2}}$
（3）根据匀速圆周运动的线速度公式，即T′=$\frac{2πr}{v}$
解得：T′=$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$
答：（1）地球表面的重力加速度$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$；
（2）同步卫星的轨道半径$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{2}}$；
（3）地球的自转周期$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$．

点评 万有引力应用主要着手点一是万有引力等于星球表面的重力，二是万有引力提供圆周运动向心力．关键要掌握向心力的不同表达式．