（本小题满分16分）

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．令

．

（1）求 g(x)的表达式；

（2）若使成立，求实数m的取值范围；

（3）设，，

证明:对，恒有

(本小题满分14分)

已知函数．

(Ⅰ) 若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

(Ⅱ) 设，，且，求证：．

（本小题满分13分）

将这个数随机排成一列，得到的一列数称为的一个排列.

定义为排列的波动强度.

（Ⅰ）当时，写出排列的所有可能情况及所对应的波动强度；

（Ⅱ）当时，求的最大值，并指出所对应的一个排列；

（Ⅲ）当时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.

（本题满分12分）

已知函数，当恒成立的a的最小值为k，存在n个

正数，且，任取n个自变量的值

   （I）求k的值；

   （II）如果

   （III）如果，且存在n个自变量的值，使，求证：

（本小题满分14分）

已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

（1）求实数的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（3）当时，证明．

（本小题满分12分）

        已知函数，若存在实数则称是函数的一个不动点.

   （I）证明：函数有两个不动点；

   （II）已知a、b是的两个不动点，且.当时，比较

        的大小；

   （III）在数列中，，等式对任何正整数n都成立，求数列的通项公式.

（本题满分18分）

对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：

①在内是单调函数；

②当定义域是时，的值域也是．

则称是该函数的“和谐区间”．

（1）求证：函数不存在“和谐区间”．

（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．

（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）

（本小题满分14分）

已知函数，当时，取得极小值.

（1）求，的值；

（2）设直线，曲线.若直线与曲线同时满足下列两个条件：

①直线与曲线相切且至少有两个切点；

②对任意都有.则称直线为曲线的“上夹线”.

试证明：直线是曲线的“上夹线”.

（3）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的、，当，且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.

（本题满分16分）

已知,函数.

(1) 如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相应的

值,如果没有，说明为什么?

(2) 如果判断函数的单调性；

 (3) 如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.