Question

（本小题满分13分）

将这个数随机排成一列，得到的一列数称为的一个排列.

定义为排列的波动强度.

（Ⅰ）当时，写出排列的所有可能情况及所对应的波动强度；

（Ⅱ）当时，求的最大值，并指出所对应的一个排列；

（Ⅲ）当时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）时，排列的所有可能为；；；；；.

…………2分

；；；

；；.                         ……………4分

（Ⅱ）

上式转化为，

在上述个中，有个选正号，个选负号，其中出现一次，各出现两次.                                                        …………6分

所以可以表示为个数的和减去个数的和的形式，

若使最大，应使第一个和最大，第二个和最小.

所以最大为：

.    …………8分

所对应的一个排列为：.（其他正确的排列同等给分） ……9分

（Ⅲ）不可以.

例如排列，除调整外，其它调整都将使波动强度增加，调整波动强度不变.                                                 ………11分

所以只能将排列调整为排列.

对于排列，仍然是除调整外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整两个数字.

如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为.       ………13分