【题目】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足．若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为________；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________．

【题目】2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，己知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.

（1）假设该疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%，设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；

（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：

方案一：将位居民分成组，每组人；

方案二：将位居民分成组，每组人；

试分析哪一个方案的工作量更少？

（参考数据：，）

【题目】对于无穷数列，，记，，若同时满足条件①，均单调递增；②且，则称，是无穷互补数列.

（1）若，，试判断数列，是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若，且，是无穷互补数列，求数列前项的和.

【题目】已知函数．

（1）求函数在上的单调区间；

（2）用表示中的最大值，为的导函数，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

【题目】已知过点，且与内切，设的圆心的轨迹为，

（1）求轨迹C的方程；

（2）设直线不经过点且与曲线交于点两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

【题目】如图1，在边长为2的等边中，分别为边的中点，将AED沿折起，使得 ， ，得到如图2的四棱锥A-BCDE，连结，且与交于点．

（1）求证：平面;

（2）求二面角的余弦值．

（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；

（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求的分布列及数学期望

A.B.C.D.

【题目】已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.

（1）若，求曲线与直线的两个交点之间的距离；

（2）若曲线上的点到直线距离的最大值为，求的值.

【题目】已知函数.

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）证明：当时，不等式成立.