【题目】在竖直坐标平面中，从坐标原点出发以同一初速度和不同的发射角（即发射方向与轴正向之间的夹角）射出的质点（不计质点的大小），在重力（设重力加速度为）的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族（即抛物线的集合）.若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点.证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求出这个椭圆弧的方程（包括变量的取值范围），再画出它的草图.注. 抛物线在其上的点处的切线的斜率为.

【题目】某同学在研究函数时，给出下面几个结论：

①等式对恒成立；

②函数的值域为；

③若，则一定；

④对任意的，若函数恒成立，则当时，或．

其中正确的结论是____________（写出所有正确结论的序号）．

【题目】某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按统一规格加工，每件珠宝的原材料成本为3.5万元，每件珠宝售价（万元）与加工时间（单位：天）之间的关系满足图1，珠宝的预计销量（件）与加工时间（天）之间的关系满足图2.原则上，单件珠宝的加工时间不能超过55天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利润的三分之一，其他成本忽略不计算.

（1）如果每件珠宝加工天数分别为6，12，预计销量分别会有多少件？

（2）设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为（万元），请写出纯利润（万元）关于加工时间（天）之间的函数关系式，并求纯利润（万元）最大时的预计销量.

注：毛利润=总销售额-原材料成本,纯利润=毛利润-工人报酬

【题目】动点从坐标原点出发沿着抛物线移动到点，则在移动过程中当为最大时，点的横坐标________.

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．

【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：.若不建隔热层，每年的能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.

（1）求的值及的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用最小，并求其最小值.

【题目】设函数，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且.

（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；

（Ⅱ）若点为线性约束条件所围成的平面区域上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值．

【题目】已知函数(其中为常数且)在处取得极值.

(1)当时，求的极大值点和极小值点；

(2)若在上的最大值为1，求的值.

A. 命题：，，则命题：，

B. “”是“”的充要条件

C. 命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”

D. 命题：，；命题：对，总有；则是真命题

【题目】如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是规划的生态文旅园区，其中、分别在射线和上.经测量得，扇形的圆心角（即）为、半径为千米.根据发展规划，要在扇形区域外修建一条公路，分别与射线、交于、两点，并要求与扇形弧相切于点（不与重合）.设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.

（1）试将公路的长度表示为的函数；

（2）已知公路每千米的造价为万元，问建造这样一条公路，至少要投入多少万元？