Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间是．（2）实数的取值范围是

【解析】

（Ⅰ）求函数f（x）的导数，利用导数小于0，求解单调递减区间；
（Ⅱ）分离变量，通过函数的图象的交点个数，判断零点个数，利用单调性求解函数的极值，推出结果即可．

（Ⅰ）由题可得：　　　

令，得，解得：　　　　

∴函数的单调递减区间是．

（Ⅱ）∵方程有且仅有一个实根

∴方程有且仅有一个非零实根，即方程有且仅有一个实根．

因此，函数的图像与直线有且仅有一个交点．

结合（Ⅰ）可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，.

∴函数的极大值是，极小值是．

又∵且时，．∴当或或时，

函数的图像与直线有且仅有一个交点．

∴若方程有且仅有一个实根，

实数的取值范围是.