在△ABC中，∠A=60°，且∠A的平分线AD将BC分成两段之比为BD：DC=2：1，又AD=4

3

．
（1）求三边长；
（2）求∠C．

已知椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为F₁、F₂，若F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆相交于A、B两点．与抛物线相交于C、D两点，当l与x轴垂直时，|CD|=2

2

|AB|．
（1）求椭圆的方程；
（2）若

F2A

•

F2B

=0，求直线l的方程．

圆心在y轴的正半轴上，过椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为．

已知椭圆Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其离心率与双曲线

x2

3

-y²=1的离心率互为倒数，而直线x+y=

3

恰过椭圆Ω的焦点．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为A、B，上顶点为C，点P是椭圆上不同于顶点的任意一点，连接BP交直线AC于点M，连接CP与x轴交于点N，记直线MN，MB斜率分别为k₁，k₂，求2k₁-k₂是否为定值，若是求出该定值并证明，若不是说明理由．

下列五个命题：
（1）y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
（2）终边在y轴上的角的集合是{x|x=

kπ

2

，k∈Z}；
（3）在同一坐标系中，y=sinx的图象和y=x的图象有三个公共点；
（4）y=sin（x-

π

2

）在[0，π]上是减函数；
（5）把y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到y=3sin2x的图象．
其中真命题的序号是．

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2

OA

+

AB

+

AC

=

0

且|

OA

|=|

AB

|，则

BA

•

BC

的值等于（　　）

如图，平面内向量

a

，

b

的夹角为120°，

a

，

c

的夹角为30°，且|

a

|=2，|

b

|=1，|

c

|=2

3

，若

c

=λ

a

+2

b

，则λ等于．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P（1，

2

2

），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线l：mx+ny+

1

3

n=0（m，n∈R）交椭圆C于A、B两点，求证：以AB为直径的动圆恒经过定点（0，1）．

已知函数f（x）=xlnx+mx（m∈R）的图象在点（1，f（1））处的斜率为2．
（1）求实数m的值；
（2）f（x）≤kx²对?x＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）已知m，n∈N^*且m＞n＞1，证明：

m n

n m

＞

n

m

．

如图所示，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，左焦点为F、A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，求tan∠BDC的值．