已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为α、β（如图1），则cos²α+cos²β=1．用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明．

5男6女共11个小孩做如下游戏：先让4个小孩（不全是男孩）等距离站在一个圆周的4个位置上，如果相邻两个小孩同为男孩或同为女孩，则在他（她）们中间站进一个男孩，否则站进一个女孩，然后让原来的4个小孩暂时退出，即算一次活动．这种活动按上述规则继续进行，直至圆周上所站的4个小孩都是男孩为止．这样的活动最多可以进行（　　）

A．2次

B．3次

C．4次

D．5次

由平面几何知识，我们知道在Rt△ABC中，若两条直线边的长分别为a，b，则△ABC的外接圆半径R=

a2+b2

2

，如果我们将这一结论拓展到空间中去，类比可得：在三棱锥中，若三条侧棱两两垂直，且它们的长分别为a，b，c，则条棱锥的外接球半径R=______．

设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a_i（i=1，2，3，4），P是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为hi，若

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k，则

4

i=1

(ihi=

2S

k

)，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i个面的距离记为d_i，若

S1

1

=

S2

2

=

S3

3

=

S4

4

=k，则

4

i=1

(idi)等于______．

已知命题：若数列{a_n}为等差数列，且a_m=a，a_n=b（m≠n，m、n∈N^*），则a_m+n=

bn-am

n-m

；现已知等比数列{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），b_m=a，b_n=b（m≠n，m、n∈N^*），若类比上述结论，则可得到b_m+n=______．

下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量a的性质|

a

|²=

a

²类比得到复数z的性质|z|²=z²；
③方程ax²+bx+c=0（a，b，c⊆R）有两个不同实数根的条件是b²-4ac＞0可以类比得到：方程az²+bz+c=0（a，b，c⊆C）有两个不同复数根的条件是b²-4ac＞0；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比错误的是______．

在平面内，1条直线把平面分成2部分，2条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成7部分，…，则n条直线最多把平面分成f（n）部分，则f（n）=______．

边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值

3

2

a，类比到空间，棱长均为a的三棱锥内任一点到各面距离之和为（　　）

A． 3 a 3

B． 6 a 2

C． 6 a 3

D． 2 a 2

如图，P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，xy≠0)上的动点，F₁、F₂是双曲线的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且

F2M

•

MP

=0．某同学用以下方法研究|OM|：延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，且M为F₂M的中点，得|OM|=

1

2

|NF1|=…=a．类似地：P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上的动点，F₁、F₂是椭圆的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且

F2M

•

MP

=0．则|OM|的取值范围是 ______．

我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列{a_n}的前n项和公式Sn=na1+

n(n-1)

2

d（d为公差），类比地得到等比数列{b_n}的前n项积公式T_n=______（q为公比）