Question

设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a_i（i=1，2，3，4），P是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为hi，若

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k，则

4

i=1

(ihi=

2S

k

)，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i个面的距离记为d_i，若

S1

1

=

S2

2

=

S3

3

=

S4

4

=k，则

4

i=1

(idi)等于______．

Answer 1

根据三棱锥的体积公式 V=

1

3

Sh
得：

1

3

S1H1+

1

3

S2H2+

1

3

S3H3+

1

3

S4H4=V，
即S₁H₁+2S₂H₂+3S₃H₃+4S₄H₄=3V，
∴H1+2H2+3H3+4H4=

3V

K

，
即

4

i=1

(iHi)=

3V

K

．
故答案为：

3V

k

．