如图，点A、B、C都在函数y=的图像上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2 又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；
(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求证:两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围.

已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x²－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程=|a－1|+2的根的取值范围.

二次函数f(x)=px²+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证:
(1)pf()<0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差。
（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？
（3）你认为本题中边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么？

如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y₁=ae^－nt,那么桶2中水就是y₂=a－ae^－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有.

设x₁、x₂为方程4x²－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x₁²+x₂²有最小值_________.

某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x²(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位: 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？
(3)年产量多少时，企业才不亏本？

已知函数f(x)=lg［(a²－1)x²+(a+1)x+1］
(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围 

在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S₁，△ABC的内切圆面积为S₂，记=x. 
(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)的最小值.