曲线都是以原点O为对称中心、坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是曲线的短轴，并且是曲线的长轴 . 直线与曲线交于A,D两点（A在D的左侧），与曲线交于B,C两点（B在C的左侧）．
（1）当=，时，求椭圆的方程；
（2）若，求的值．

已知离心率为的椭圆上的点到左焦点的最长距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过椭圆的左焦点任作一条与两坐标轴都不垂直的弦，若点在轴上，且使得为的一条内角平分线，则称点为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”的坐标．

已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
（1）求椭圆及动圆圆心轨迹的方程；
（2） 在曲线上有两点、，椭圆上有两点、，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．

已知抛物线，直线截抛物线C所得弦长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知是抛物线上异于原点的两个动点，记若试求当取得最小值时的最大值.

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数）.若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为.
(Ⅰ) 求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求直线被曲线所截得的弦长.

如图，已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D、E两点．

（Ⅰ）若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂．
试问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂？说明理由．

椭圆与轴负半轴交于点，为椭圆第一象限上的点，直线交椭圆于另一点，椭圆左焦点为，连接交于点D。
（1）如果，求椭圆的离心率； 
（2）在（1）的条件下，若直线的倾斜角为且△ABC的面积为，求椭圆的标准方程。

平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上 两点，所成的曲线可以是圆，椭圆或双曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系;
（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，若曲线的斜率为的切线与曲线相交于两点，且（为坐标原点），求曲线的方程．

已知椭圆过点，椭圆左右焦点分别为，上顶点为，为等边三角形.定义椭圆C上的点的“伴随点”为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最大值；
（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.

已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，试证明：直线过定点并求此定点.