Question

【题目】已知函数．

(1)求证：；

(2)用表示中的最大值，记，讨论函数零点的个数．

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）见解析

【解析】

(1) 设求出函数的最小值即可；

(2) 对x和a的范围进行讨论，得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f（x），g（x）的零点个数，从而得出h（x）的零点个数．

（1）证明：设，定义域为，

则.

当时，；当时，，

故在内是减函数，在内是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，

所以，所以

（2）解：函数的定义域为，

，

当时，；当时，，

所以在内是减函数，在内是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，

即

若，则，

当时，；当时，；

当时，.

所以，于是只有一个零点.

当，则当时，，此时，

当时，，，此时

所以没有零点.

当，则当时，根据（1）可知，

而，所以

又因为，所以在上有一个零点，

从而一定存在，使得，

即，所以.

当时，，

所以，从而，

于是有两个零点和1.

故当时，有两个零点.

综上，当时，有一个零点，当时，没有零点，当时，有两个零点.