Question

已知数列．
（I）求证数列成等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）求证：．

Answer 1

证明：（I）∵，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴，∴
（II）∵b_n=na_n=n•2^n-1+1，∴S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
记∴T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，两式相减化简得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，∴数列{b_n}的前n项和S_n=（n-1）×2ⁿ+n+1；
（III）由知
当n≥2时，知，∴即
当n=1，2时，结论成立．
当n≥3时，=，∴
分析：（I）由，可得，所以可证数列是以1为首项，2为公比的等比数列，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（II）因为b_n=na_n=n•2^n-1+1，所以S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
记T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，错位相减得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，从而可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）由知，当n≥2时，知，从而有进而可用放缩法转化为等比数列求和，故问题得证．
点评：本题考查等比、等差数列、不等式和数列的有关知识，化归、递推等数学思想方法，同时考查运算能力，推理论证以及综合运用有关知识分析解决问题的能力．