Question

【题目】已知函数，且满足.

（1）求实数的值；

（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明；

（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）单调递增，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据计算的值，注意的限制；

（2）定义法证明的步骤：先假设的范围和大小关系，然后通过计算判断与的大小关系，最后根据判断结果说明单调性即可；

（3）将问题转化为图象的交点问题：作出的草图，计算当直线与的图象有个交点时的范围即为所求.

（1）因为且，所以，所以或（舍），则；

（2）判断：单调递增；

证明：因为，所以，

任取，所以，

又因为，所以，，

所以，所以在上单调递增；

（3）作出与图象如下图所示：

可看作是绕原点旋转的直线（不与轴重合），

因为方程有三个不同的实数解，所以与图象有三个不同交点，

则有，临界位置：与在的图象相切，此时，

不妨令：，所以，所以，所以，

此时有，所以，所以切点为，综上：.