题目内容

已知直线x- $数学公式$ y+ $数学公式$ =0经过椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的一个顶点B和一个焦点F．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆C上动点，求||PF|-|PB||的取值范围，并求||PF|-|PB||取最小值时点P的坐标．

解：（1）依题意，B（0，1），F（ $\text{[math]}$ ，0），所以b=1，c= $\text{[math]}$ …（2分），
所以 $\text{[math]}$ …（3分），
所以椭圆的离心率 $\text{[math]}$ …（4分）．
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，当且仅当|PF|=|PB|时，||PF|-|PB||=0…（5分），
当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，
所以||PF|-|PB||的取值范围是[0，2]…（7分）．
设P（m，n），由|PF|=|PB|得 $\text{[math]}$ m+n+1=0…（9分），
代入椭圆方程，消去n可得13m²+8 $\text{[math]}$ m=0，∴m=0或m=- $\text{[math]}$
m=0时，n=-1；m=- $\text{[math]}$ 时，n= $\text{[math]}$ …（11分），
∴所求点P为p（0，-1）和P（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）…（12分）．
分析：（1）根据直线x- $\text{[math]}$ y+ $\text{[math]}$ =0，可得B（0，1），F（ $\text{[math]}$ ，0），即以b=1，c= $\text{[math]}$ ，进而可得椭圆的离心率；
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，当且仅当|PF|=|PB|时，||PF|-|PB||=0，当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，由此可得||PF|-|PB||的取值范围是[0，2]；根据|PF|=|PB|，可得点P的坐标．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆方程的运用，正确确定椭圆的方程是关键．