Question

一缉私艇在A处发现在北偏东45°方向距离12海里的海面上C处有一走私船正以10海里/小时的速度沿东偏南15°方向逃窜，缉私艇的速度为14海里/小时．若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追及所需时间和α角的正弦值．

Answer 1

分析：利用余弦定理在△ABC中求出x，然后利用正弦定理

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠BAC

求出α角的正弦值．

解答：解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x时后在B处追上，
则有 AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°，…..（2分）
由余弦定理得AB²=AC²+BC²-2•AC•BCcos∠ACB…（4分）
∴（14x）²=12²+（10x）²-2×12×10x×cos120°…..（6分）
∴x=2…..（8分）
∴AB=28，BC=20，
正弦定理得

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠BAC

…..（10分）
∴sinα=sin∠BAC=

20sin120°

28

=

5 3

14

所以所需时间2小时，sinα=

5 3

14

…（12分）

点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．