Question

已知f（x）=lnx-

1

2

x，当x≥1时，f（x）+

k

4

＜0恒成立，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：依题意可知，当x≥1时，lnx-

1

2

x+

k

4

＜0恒成立，构造函数g（x）=2x-4lnx（x≥1），只需k＜g（x）_min即可，利用导数法可求得：当x=2时，g（x）=2x-4lnx取得极小值，也是最小值，即g（x）_min=g（2）=4-4ln2，从而可求得实数k的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=lnx-

1

2

x，
∴当x≥1时，f（x）+

k

4

＜0恒成立?当x≥1时，lnx-

1

2

x+

k

4

＜0恒成立，
即k＜2x-4lnx（x≥1）恒成立，令g（x）=2x-4lnx（x≥1），则k＜g（x）_min．
∵g′（x）=2-

4

x

=

2x-4

x

，
∴当1≤x＜2时，g′（x）＜0，g（x）在[1，2）上单调递减；
当x≥2时，g′（x）≥0，g（x）在（2，+∞）上单调递增；
∴当x=2时，g（x）=2x-4lnx取得极小值，也是最小值，即g（x）_min=g（2）=4-4ln2，
∴k＜4-4ln2，
故答案为：（-∞，4-4ln2）．

点评：本题考查函数恒成立问题，构造函数g（x）=2x-4lnx（x≥1），利用导数求得g（x）_min=g（2）=4-4ln2是关键，考查等价转化思想与运算求解能力．