Question

已知函数f(x)=ax³+bx²－x(x∈R，a、b是常数，a≠0)，且当x=1和x=2时，函数f(x)取得极值．(I)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)若曲线y=f(x)与g(x)=有两个不同的交点，求实数m的取值范围.

Answer 1

(I)  (Ⅱ) 0≤m<

试题分析：解：(1)，依题意，，即，
解得，经检验符合题意。∴ 
(2) 曲线y=f(x)与g(x)两个不同的交点，
即在[-2，0]有两个不同的实数解 
设φ(x)= ，则， 
由，得x= 4或x= -1，∵x∈[-2，0]，
∴当x(-2,-1)时，，于是φ(x)在[-2,-1]上递增；
当x(-1,0)时，，于是φ(x)在[-1,0]上递减.   
依题意有  
解得0≤m< 
点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。