Question

已知平面内三点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O为坐标原点．
（1）若

AC

•

BC

=-1，求sin(α+

π

4

)的值．
（4）若|

OA

+

OC

|=

13

，且α∈(0，π)，求

OB

与

OC

的夹角．

Answer 1

分析：（1）由已知中A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），我们易求出向量

AC

，

BC

的坐标，根据

AC

•

BC

=-1，利用同角三角函数关系式及辅助角公式，易求出sin(α+

π

4

)的值．
（2）由|

OA

+

OC

|=

13

，代入向量模的计算公式，可以求出cosα，sinα，进而求出C点坐标，代入向量夹角公式，即可得到答案．

解答：解：（1）∵

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)
∴

AC

•

BC

=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1…（3分）
得cos²α+sin²α-3（cosα+sinα）=-1
∴cosα+sinα=

2

3

，…（5分）
∴sin(α+

π

4

)=

2

3

…（7分）
（2）∵|

OA

+

OC

|=

13

．∴（3+cosα）²+sin²α=13，
∴cosα=

1

2

，
∵α∈（0，π），∴α=

π

3

，sinα=

3

2

，…（9分）
∴C(

1

2

，

3

2

)，∴

OB

•

OC

=

3 3

2

…（11分）
设

OB

与

OC

的夹角为θ，则cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

3 3 2

3

=

3

2

∵θ∈(0，π)∴θ=

π

6

即为所求．…（14分）

点评：本题考查的知识点是两角和与差的正弦函数，数量积表示两个向量的夹角，其中（1）的关键是根据向量数量积公式，得到关于α 的三角方程，（2）的关键是求出cosα，sinα．