Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-B₁CD的体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）关键是证明B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，利用直三棱柱的性质及底面是直角三角形易证之．
（Ⅱ）用勾股定理证明CD⊥DC₁，又由（Ⅰ）知B₁C₁⊥CD，所以有CD⊥平面B₁C₁D，从而证明面面垂直．
（Ⅲ）等体积法，V_C1-DCB₁=V_B1-DCC₁   ，进行求解．
解答：证明：（Ⅰ）∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°
∴B₁C₁⊥A₁C₁
又由直三棱柱性质知B₁C₁⊥CC₁（2分）
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁又CD?平面ACC₁A₁
∴B₁C₁⊥CD（4分）

（Ⅱ）由AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁中点，
可知，
∴DC²+DC₁²=CC₁²=4即CD⊥DC₁（6分）
又B₁C₁⊥CD∴CD⊥平面B₁C₁D
又CD?平面B₁CD
故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（9分）
（Ⅲ）解：V_C1-DCB₁=V_B1-DCC₁
=
=
=．（12分）
点评：通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的，通过证明一个平面内存在一条直线和另一个平面垂直，从而证明面面垂直，用等体积法求三棱锥的体积，是常用的一种方法．