Question

设函数f（x）=

2

2

cos(2x+

π

4

)+sin2x，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期
（2）若函数g（x）对任意x∈R有g（x+

π

2

）=g（x）且x∈[0，

π

2

]时g（x）=f（x），求g（x）在区间[-

π

2

，0]上的解析式．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用

解答：解：（1）f（x）=

2

2

（

2

2

cos2x-

2

2

sin2x）+

1-cos2x

2

=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

2

-

1

2

cos2x=-

1

2

sin2x+

1

2

，
∵ω=2，∴T=π；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，g（x）=f（x）=-

1

2

sin2x+

1

2

；
当x∈[-

π

2

，0]时，得到-x∈[0，

π

2

]，g（-x）=f（-x）=

1

2

sin2x+

1

2

．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及函数解析式得求解及常用方法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．