Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n，并证明：不等式S_n+1≤4S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=4a_n-3n+1可得a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4a_n-4n=4（a_n-n），从而可证
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求a_n，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求S_n，进而可证不等式．

解答：（Ⅰ）证明：∵a_n+1=4a_n-3n+1n∈N^*，
∴a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4a_n-4n=4（a_n-n）
∴{a_n-n}为首项a₁-1=1，公比q=4的等比数列；
（Ⅱ）解：∵a_n-n=4^n-1，∴a_n=n+4^n-1，
∴S_n=1+2+…+n+（1+4+…+4^n-1）=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

∴S_n+1-4S_n=

(n+1)(n+2)

2

+

4n+1-1

3

-4[

n(n+1)

2

+

4n-1

3

]=-

n(3n+1)

2

+2≤0
∴S_n+1≤4S_n．

点评：本题考查利用数列的递推公式构造证明等比数列，等比数列的通项公式的求解及分组求和方法的应用，考查不等式的证明，作差法证明与数列有关的不等式是常规思路，属于中档题．