Question

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为v立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米．现假设下雨量和蒸发量正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g(t)表示在t时刻每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称之为在t时刻的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)＝＋[g(0)－]·e(p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数．

(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；

(2)求证：当g(0)＜时，该湖泊的污染程度会越来越严重；

(3)如果政府加大治污力度，使得该湖泊的所有污染源停止排放污染物，那么需要经过多少天才能使湖泊的污染程度下降到初始污染程度的5％？

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)解：由g(t)为常数，得g(0)－＝0，所以g(0)＝．

　　(2)证明：设0＜t₁＜t₂，则g(t₁)－g(t₂)

　　＝＋·e－－·e

　　＝·

　　＝·．

　　因为t₁＜t₂，所以e＜e，

　　所以e－e＞0．

　　又g(0)－＜0，所以g(t₁)＜g(t₂)．

　　故湖水污染质量分数随时间的增加而增加，说明湖泊的污染程度会越来越严重．

　　(3)解：污染停止，即p＝0，则g(t)＝g(0)·e．

　　设经过t天能使湖泊污染程度下降到初始污染程度的5％，即g(t)＝5％·g(0)，

　　所以＝e，解得t＝ln20．

　　故需要经过ln20天才能使湖泊的污染程度下降到初始污染程度的5％．