题目内容

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为vm³，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g（t）表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质（g），我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天pg的污染物质污染湖水，湖水污染质量满足关系式g（t）= $数学公式$ （p≥0），其中g（0）是湖水污染的初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g（0）＜ $数学公式$ 时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，问经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%

解：（1）设0≤t₁＜t₂，
因为g（t）为常数，∴g（t₁）=g（t₂），即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，整理得 $\text{[math]}$
则g（0）= $\text{[math]}$ ；
（2）设0＜t₁＜t₂，g（t₁）-g（t₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因为g（0）- $\text{[math]}$ ＜0，0＜t₁＜t₂，g（t₁）＜g（t₂）．
∴污染越来越严重．
（3）污染停止即P=0，g（t）=g（0）• $\text{[math]}$ ，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g（t）=5% g（0）? $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴t= $\text{[math]}$ ln20，
故需要 $\text{[math]}$ ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%．
分析：（1）设0≤t₁＜t₂，根据g（t）为常数故可判断出g（t₁）=g（t₂），把解析式代入即可求得g（0）的值．
（2）设0＜t₁＜t₂，进而求得g（t₁）-g（t₂）= $\text{[math]}$ ，根据g（0）- $\text{[math]}$ ＜0，0＜t₁＜t₂，判断出g（t₁）＜g（t₂）．证明出污染的问题越来越严重．
（3），设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，进而根据g（t）=5% g（0）求得t的值．
点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型．考查了学生对函数基础知识的掌握和灵活运用．

练习册系列答案

t（p≥0），其中g（0）是湖水污染的初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g（0）＜

时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，问经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.

（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；

（2）求证：当g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重；

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？

（p≥0），其中g（0）是湖水污染的初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g（0）＜

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数.已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)=+［g(0)-］·(p≥0)，其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.

（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；

（2）求证：当g(0)＜时，湖泊的污染程度将越来越严重；

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？

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