Question

已知椭圆C的焦点是F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)，点F₁到相应的准线的距离为

3

3

，过点F₂且倾斜角为锐角的直线?与椭圆C交于A、B两点，使|F₂B|=3F₂A|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线?的方程．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，利用已知条件直接求出椭圆C的方程；
（2）通过焦半径，以及|F₂B|=3|F₂A|．求出B的坐标，然后求直线?的方程．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
则由已知得：c=

3

， 

b2

c

=

3

3

∴b²=1，a²=b²+c²=4
∴

x2

4

+y2=1为所求．
（2）由椭圆方程知：e=

3

2

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则|AF2|=a-ex1=2-

3

2

x1，
|BF2|=a-ex2=2-

3

2

x2，
由3|AF₂|=|BF₂|
得3(2-

3

2

x1)=2-

3

2

x2，
∴3x1-x2=

8

3

3

    ①
又F₂分

.

BA

所成的比λ=3
∴

3

=

x2+3x1

1+3

，即3x1+x2=4

3

   ②
由①，②得：x1=

10

9

3

，x2=

2

3

3

，
∴B(

2 3

3

，-

6

3

)
∴?：y=

6 3

3 - 2 3 3

(x-

3

)
即

2

x-y-

6

=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，焦半径公式的应用，定比分点的应用，考查计算能力，转化思想．