题目内容
已知椭圆C的方程是| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
左焦点坐标为（-4，0），且过点P (
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．
分析：（Ⅰ）由题设知a2=b2+16，即椭圆的方程为
+
=1，由点(
，
)在椭圆上，知
+
=1，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由A（-6，0），F（4，0），P (
，
)，知
= (
，
)，
= ( -
，
)，所以
•
=0，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（-1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积．
| x2 |
| b2+16 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 9 |
| 4(b2+16) |
| 75 |
| 4b2 |
（Ⅱ）由A（-6，0），F（4，0），P (
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| AP |
| 15 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| FP |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| AP |
. |
| FP |
解答：
解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为
+
=1，（a＞b＞0），∴a2=b2+16，
即椭圆的方程为
+
=1，∵点(
，
)在椭圆上，∴
+
=1，
解得b2=20或b2=-15（舍），由此得a2=36，
所以，所求椭圆C的标准方程为
+
=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），F（4，0），又P (
，
)，则得
= (
，
)，
= ( -
，
)
所以
•
=0，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（-1，0），则显然PQ⊥PM，
而kPM=
=
，所以PQ的斜率为-
，
因此，过P点引圆M的切线方程为：y-
=-
(x-
)，即x+
y-9=0
令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（-1，0），
所以^ ，S扇形MPF=
×5×5×
=
因此，所求的图形面积是S=S△PQM-S扇形MPF=
-
=
．
解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
即椭圆的方程为
| x2 |
| b2+16 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 9 |
| 4(b2+16) |
| 75 |
| 4b2 |
解得b2=20或b2=-15（舍），由此得a2=36，
所以，所求椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 36 |
| y2 |
| 20 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），F（4，0），又P (
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| AP |
| 15 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| FP |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
所以
| AP |
. |
| FP |
而kPM=
| ||||
|
| 3 |
| ||
| 3 |
因此，过P点引圆M的切线方程为：y-
5
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（-1，0），
所以^ ，S扇形MPF=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 25π |
| 6 |
25
| ||
| 2 |
| 25π |
| 6 |
75
| ||
| 6 |
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，左焦点坐标为（﹣4，0），且过点
．
（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，
．