题目内容
设△ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若a是b和c的等差中项，且3sinA=5sinB．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{an}，且它们的和为2013，求c的值．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{an}，且它们的和为2013，求c的值．
分析：（I）根据正弦定理化简题中等式，得3a=5b．结合a是b和c的等差中项，算出a：b：c=5：3：7，利用余弦定理加以计算可得cosC=-
，即可得出C的大小；
（II）根据等差数列求和公式，结合题意算出a+b=1，结合（I）的结论得到a=
，b=
，从而得到c=
．
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（II）根据等差数列求和公式，结合题意算出a+b=1，结合（I）的结论得到a=
| 5 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
解答：解：（I）∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，得3a=5b
又∵a是b和c的等差中项，∴2a=b+c，
可得a：b：c=5：3：7
设a=5x，b=3x，c=7x，由余弦定理，得
cosC=
=
=-
∵C是三角形的内角，∴C=
；
（II）根据题意得：
=2013
解之得a+b=1
结合（I）中a：b：c=5：3：7，可得a=
，b=
，从而得到c=
即c的值为
．
又∵a是b和c的等差中项，∴2a=b+c，
可得a：b：c=5：3：7
设a=5x，b=3x，c=7x，由余弦定理，得
cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 25x2+9x2-49x2 |
| 2•5x•3x |
| 1 |
| 2 |
∵C是三角形的内角，∴C=
| 2π |
| 3 |
（II）根据题意得：
| 2013(a+b) |
| 2 |
解之得a+b=1
结合（I）中a：b：c=5：3：7，可得a=
| 5 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
即c的值为
| 7 |
| 8 |
点评：本题着重考查了正余弦定理解三角形、等差数列的求和公式等知识点，考查了分析计算能力和逻辑思维能力，属于中档题．
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