Question

如图，O是直角坐标原点，A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB并与AB相交于点M，求M点的轨迹方程．

Answer 1

解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（2pt₁²，2pt₁），（2pt₂²，2pt₂），t₁≠t₂，且t₁t₂≠0，
则，，
，
∵，∴，
即（2pt₁t₂）²+（2p）²t₁t₂=0．
∴t₁t₂=-1．
∵，∴2px（t₂²-t₁²）+2py（t₂-t₁）=0，
∴，
∵，，且A，M，B共线，
∴（x-2pt₁²）（2pt₂-y）=（y-2pt₁）（2pt₂²-x），
化简得y（t₁+t₂）-2pt₁t₂-x=0，
由此可知M点的轨迹方程为x²+y²-2px=0，（x≠0）．
分析：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（2pt₁²，2pt₁），（2pt₂²，2pt₂），t₁≠t₂，且t₁t₂≠0，由题意知t₁t₂=-1.，由此可知M点的轨迹方程．
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要注意积累解题方法和解题技巧．