Question

如图，O是直角坐标原点，A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB并与AB相交于点M，求M点的轨迹方程．

Answer 1

分析：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（2pt₁²，2pt₁），（2pt₂²，2pt₂），t₁≠t₂，且t₁t₂≠0，由题意知t₁t₂=-1.t1+t2=-

y

x

(x≠0)，由此可知M点的轨迹方程．

解答：解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（2pt₁²，2pt₁），（2pt₂²，2pt₂），t₁≠t₂，且t₁t₂≠0，
则

OM

=(x，y)，

OA

=(2pt12，2pt1)，

OB

=(2pt22，2pt2)，

AB

=(2p(t22-t12)，2p(t2-t1))，
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0，
即（2pt₁t₂）²+（2p）²t₁t₂=0．
∴t₁t₂=-1．
∵

OM

⊥

AB

，∴2px（t₂²-t₁²）+2py（t₂-t₁）=0，
∴t1+t2=-

y

x

(x≠0)，
∵

AM

=(x-2pt12，y-2pt1)，

MB

=(2pt22-x，2pt2-y)，且A，M，B共线，
∴（x-2pt₁²）（2pt₂-y）=（y-2pt₁）（2pt₂²-x），
化简得y（t₁+t₂）-2pt₁t₂-x=0，
由此可知M点的轨迹方程为x²+y²-2px=0，（x≠0）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要注意积累解题方法和解题技巧．