Question

如图，O是坐标原点，已知三点E（0，3），F（0，1），G（0，-1），直线L：y=-1，M是直线L上的动点，H．P是坐标平面上的动点，且

FH

=

HM

，

PM

=λ

EG

，

PH

•

FM

=0．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点E的直线m与点P的轨迹交于相异两点A．B，设向量

FA

与

FB

夹角为θ，且

3π

4

≤θ＜π，求直线m斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据且

FH

=

HM

，

PM

=λ

EG

，

PH

•

FM

=0，点P在直线x=a上，由抛物线定义，动点P的轨迹是以F为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，求出动点P 轨迹方程；（Ⅱ）直线与抛物线相交，联立方程，利用伟大定理，寻找向量

FA

与

FB

夹角为θ的余弦值，求出直线m斜率的取值范围．

解答：解：（1）设P（x，y），M（a，0），∵

PM

=λ

EG

，
∴PM∥y轴，
∴点P在直线x=a上．
又|

FH|

= |

HM

|，

PH

•

FM

 =0，
∴PH⊥FM，点P在线段FM的垂直平分线上，由抛物线定义，动点P的轨迹是以F为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
∴动点P 轨迹方程是x²=4y；
（2） 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程：y=kx+3，把它代入x²=4y，得
x²-4kx-12=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12，
y₁+y₂

X12+X22

4

(X1+X2) 2-2X1X2

4

=4k²-6，y₁y₂

(X1X2) 2

16

=9．
设AB在x轴的射影是A₁B₁，

FA

•

FB

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
|

FA

|•|

FB

|=|FA₁|•|FB₁|=（y₁+1）•（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1，
∴cosθ=

FA • FB

| FA || FB |

=

1-k2

1+k2

≤cos

3π

4

≤-

2

2

，解得|k|≥1+

2

∴k∈（-∞，-1-

2

]∪[1+

2

，+∞）

点评：考查平面向量与解析几何的结合，体现了向量的工具性，考查了抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系，在求解过程中，韦达定理的应用体现了方程的思想，和整体代换的思想方法，属中档题．