Question

18．下列叙述正确的是①②．
①$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$?G为△ABC的重心，．
②$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}?P$为△ABC的垂心；
③$|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{PC}+|\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{PA}+|\overrightarrow{CA}|\overrightarrow{PB}=\overrightarrow 0?P$为△ABC的外心；
④$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{AB}=（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}）•\overrightarrow{CA}=0$?O为△ABC的内心．

Answer 1

分析 ①由G为△ABC的重心，得$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$利用向量减法展开后可得$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$；
②由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$，移向变形整理可得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{PB}=0$，即AC⊥PB，同理可得AB⊥PC，BC⊥PA；
③把已知等式利用斜率加法变形，可得P必然落在角的角平分线上；
④由已知向量等式可得$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$．

解答 解：①G为△ABC的重心?$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$?$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{0}$?$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$，①正确；
②由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$?$（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}）•\overrightarrow{PB}=0$?$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{PB}=0$?AC⊥PB，同理AB⊥PC，BC⊥PA，②正确；
③$|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{PC}+|\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{PA}+|\overrightarrow{CA}|\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$?$|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{PC}+|\overrightarrow{BC}|（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}）+|\overrightarrow{CA}|（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$=$\overrightarrow{0}$
?（$|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|+|\overrightarrow{CA}|$）$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{CA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$．
∵$||\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{CA}|=||\overrightarrow{CA}|\overrightarrow{CB}|$，∴$|\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{CA}+|\overrightarrow{CA}|\overrightarrow{CB}$与角C的平分线平行，∴P必然落在角C的角平分线上，③错误；
④$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{AB}=（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}）•\overrightarrow{CA}=0$$?|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OC}}|?\overrightarrow{O{A^2}}=\overrightarrow{O{B^2}}=\overrightarrow{O{C^2}}?$O为△ABC的外心，④错误．
∴正确的叙述是①②．
故答案为：①②．

点评 本题主要考查向量等式进行变形，向量的模，向量的线性表示，共线平行，三角形的外心、内心、重心和垂线．重点考查向量等式的变形能力．是中档题．