Question

“a=1”是“函数f（x）=x+acosx在区间（0，

π

2

）上为增函数”的

 

条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．

Answer 1

分析：利用导数和单调性之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答：解：∵f（x）=x+acosx，
∴f'（x）=1-asinx，
若a=1时，f'（x）=1-sinx＞0，∴此时函数f（x）=x+acosx在区间（0，

π

2

）上为增函数．
当a=-1时，f'（x）=1+sinx＞0，满足在区间（0，

π

2

）上为增函数．
∴“a=1”是“函数f（x）=x+acosx在区间（0，

π

2

）上为增函数”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，比较基础．