Question

“a=1”是“函数f(x)=

2x-a

2x+a

在其定义域上为奇函数”的

充分不必要

条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

Answer 1

分析：当a=1时，函数f(x)=

2x-1

2x+1

，其定义域为R，f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

(2-x-1)•2x

(2-x+1)•2x

=

1-2x

1+2x

=-f（x），可得f（x）为奇函数；但反之不成立，因为当a=-1时也能使函数为奇函数．

解答：解：当a=1时，函数f(x)=

2x-1

2x+1

，其定义域为R，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

(2-x-1)•2x

(2-x+1)•2x

=

1-2x

1+2x

=-f（x），可得f（x）为奇函数；
“函数f(x)=

2x-a

2x+a

在其定义域上为奇函数”不能推出“a=1”，
因为当a=-1时，f(x)=

2x+1

2x-1

，其定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

(2-x+1)•2x

(2-x-1)•2x

=

1+2x

1-2x

=-f（x），也可得f（x）为奇函数．
故“a=1”是“函数f(x)=

2x-a

2x+a

在其定义域上为奇函数”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．

点评：本题为充要条件的判断，熟练掌握证明函数的奇偶性的方法是解决问题的关键，属基础题．