Question

“a=1”是“函数f（x）=

x2 x≤1 2x+a2-2 x＞1

在x=1处连续的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：由a=1可推出f（x）在x=1处连续，而f（x）在x=1处连续时推出a=1或a=-1，即可判断出两个命题的关系．

解答：解：当a=1时，f（x）=

x2    x≤1 2x-1  x＞1

，
f（x）在x=1有定义，且

lim

x→1

f（x）=

lim

x→1

（2x-1）=1=1²=f（1），
所以f（x）在x=1处连续；
而f（x）在x=1处连续时，f（x）在x=1有定义且

lim

x→1

f（x）=

lim

x→1

（2x+a²-2）=f（1）=1，
即a²=1，所以a=1或a=-1
所以“a=1”是“函数f（x）=

x2 x≤1 2x+a2-2 x＞1

在x=1处连续的充分不必要条件．
故选A．

点评：本题考查函数的连续性的概念，解题时要正确理解函数的连续性．要求学生掌握必要条件、充分条件以及充要条件的判断．