Question

（2010•昆明模拟）已知函数f（x）=-x⁴+2x²．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）设点P（x₀，f（x₀））在曲线y=f（x）上，曲线在点P处的切线为l．若x₀∈[-1，2]，求l在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（II）确定直线l的方程，令x=0，得l在y轴上的截距，利用换元法，结合配方法，即可求得结论．

解答：解：（I）f′（x）=-4x³+4x=-4x（x+1）（x-1）…（1分）
令f′（x）＞0得x＜-1或0＜x＜1；令f′（x）＜0得-1＜x＜0或x＞1．
因此，f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（0，1）；单调减区间为（-1，0），（1，+∞）；…（6分）
（II）由题意知直线l的方程为y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），…（8分）
令x=0，得l在y轴上的截距b=-x₀f′（x₀）+f（x₀）=-4x0(x0-

x

3 0

)+2

x

2 0

-

x

4 0

=3

x

4 0

-2

x

2 0

．
令t=

x

2 0

，∴t∈[0，4]，∴b=3t2-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

．
∴当t=

1

3

时，b_min=-

1

3

；当t=4时，b_max=40．
∴l在y轴上的截距的取值范围是[-

1

3

，40]．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．