Question

2．已知a₁=3，a_n+1=a_n²-2，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 通过令a_n=t_n+$\frac{1}{{t}_{n}}$，利用a₁=t₁+$\frac{1}{{t}_{1}}$=3可知t₁=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，利用a_n+1=a_n²-2整理得（t_n+1-${{t}_{n}}^{2}$）（1-$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}{t}_{n+1}}$）=0，分t_n+1=${{t}_{n}}^{2}$、t_n+1=$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}}$两种情况、利用对数有关知识讨论即得结论．

解答 解：令a_n=t_n+$\frac{1}{{t}_{n}}$，则t_n+1+$\frac{1}{{t}_{n+1}}$=${{t}_{n}}^{2}$+$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}}$，
整理得：（t_n+1-${{t}_{n}}^{2}$）（1-$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}{t}_{n+1}}$）=0，
∴t_n+1=${{t}_{n}}^{2}$或t_n+1=$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}}$，
又∵a₁=t₁+$\frac{1}{{t}_{1}}$=3，
∴t₁=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
当t_n+1=${{t}_{n}}^{2}$时，即lgt_n+1=2lgt_n，
∴lgt_n=2^n-1lgt₁，即t_n=${{t}_{1}}^{{2}^{n-1}}$=$（\frac{3±\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$+$（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$；
同理可知当t_n+1=$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}}$时，a_n=$（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$+$（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$；
综上所述，a_n=$（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$+$（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．