Question

已知△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB，则y=cosA+cosC的最大值为

1

．

Answer 1

分析：△ABC中，由bcosC=（2a-c）cosB，利用正弦定理化简可得cosB=

1

2

，故B=60°，A+C=120°．再由 y=cosA+cosC=2cos

A+C

2

 cos

A-C

2

=cos

A-C

2

≤1，从而得出结论．

解答：解：△ABC中，∵bcosC=（2a-c）cosB，由正弦定理得：
2RsinBcosC=（4RsinA-2RsinC）cosB，即 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
化简为sin（B+C）=2sinAcosB，∴sinA=2sinAcosB，∴cosB=

1

2

，∴B=60°，A+C=120°．
又 y=cosA+cosC=2cos

A+C

2

 cos

A-C

2

=cos

A-C

2

≤1，当且仅当A=C时，取等号，故y=cosA+cosC的最大值为1
故答案为 1．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、正弦定理、和差化积公式的应用，属于中档题．