Question

已知△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足A＜B＜C，且sinA：sinB：sinC=5：7：k．
（1）已知k=11，求△ABC的最大角的余弦值；
（2）若a=10，且△ABC为钝角三角形，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由k的值及正弦定理求出三角形三边之比，利用余弦定理列出关系式，将三边长代入求出cosC的值，即为△ABC的最大角的余弦值；
（2）由a的值，根据比例求出b的值，由cosC小于0列出不等式，求出不等式的解集得到c的范围即可．

解答：解：（1）由正弦定理化简已知等式得：a：b：c=5：7：11，
则cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

25+49-121

70

=-

9

14

；
（2）∵a=10，∴b=

7

5

a=14，
又cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，
∴c＞2

74

，
∵c＜a+b=24，
则2

74

＜c＜24．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．