Question

已知△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=1， b=

3

， cosC=-

3

3

（1）求△ABC的面积；
（2）求sin（B-A）的值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的平方关系求出sinC，再利用三角形面积公式加以计算，可得△ABC的面积；
（2）先利用余弦定理，求出c边的长，再根据正弦定理分别算出sinA=

1

3

、sinB=

3

3

，进而算出cosA、cosB之值，最后利用两角差的正弦公式加以计算，即可得到sin（B-A）的值．

解答：解：（1）∵△ABC中，cosC=-

3

3

＜0，
∴C为钝角，sinC=

1-cos2C

=

6

3

．
又∵a=1， b=

3

，
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×1×

3

×

6

3

=

2

2

．
（2）∵a=1， b=

3

， cosC=-

3

3

，
∴由余弦定理，得c=

a2+b2-2abcosC

=

1+3-2×1× 3 ×(- 3 3 )

=

6

．
根据正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

6

6 3

=3，
∴sinA=

1

3

a=

1

3

，sinB=

1

3

b=

3

3

∵A、B是锐角，∴cosA=

1-sin2A

=

2 2

3

，cosB=

1-sin2B

=

6

3

．
由此可得sin（B-A）=sinBcosA-cosBsinA=

3

3

×

2 2

3

-

1

3

×

6

3

=

6

9

．

点评：本题主要考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的运用以及运用三角公式进行三角变换的能力和利用三角形面积公式求面积，考查公式的熟练运用和计算能力，属于中档题．