Question

4．若二项式（$\frac{5}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中含有x²项，当n取最小值，展开式的各项系数之和为64．

Answer 1

分析 二项式（$\frac{5}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中T_r+1=（-1）^r5^n-r${∁}_{n}^{r}$${x}^{\frac{5}{2}r-n}$，令$\frac{5r}{2}$-n=2，可得n=$\frac{5r}{2}$-2，当r=2时，n取得最小值3．进而得出．

解答 解：二项式（$\frac{5}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中T_r+1=${∁}_{n}^{r}$$（\frac{5}{x}）^{n-r}$$（-x\sqrt{x}）^{r}$=（-1）^r5^n-r${∁}_{n}^{r}$${x}^{\frac{5}{2}r-n}$，
令$\frac{5r}{2}$-n=2，可得n=$\frac{5r}{2}$-2，当r=2时，n取得最小值3．
此时$（\frac{5}{x}-x\sqrt{x}）^{3}$中，令x=1，可得展开式的各项系数之和=（5-1）³=64．
故答案为：64．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．