Question

【题目】已知自然数有20个正整数因子（包括1和本身），它们从小到大依次记作，，，…，，且序号为的因数为．求自然数．

Answer 1

【答案】2000

【解析】

因为是的因数，

所以，与是的因数．

于是，，．

∴．

∵，

∴．

∴．此时，，．

由知，含有1，2，4，5，10，20这六个正整数因子，

所以至少含有2和5这两个质因子．

又有20个正因子，，

故可设为（为不等于2和5的质数）、、或．

（1）当时，

①当时，，，…，依次为1，2，3，4，5，6，8，10．此时，，与相矛盾．

②当时，，，…，依次为1，2，4，5，7，8，10，14．此时，，与相矛盾．

③当时，，，，…，依次为1，2，4，5，8，10，，16或为1，2，4，5，8，10，16，，与相矛盾．

④当时，的正因数为1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，，，，，，…．

∴，，，．

∴．

于是，，不为质数，

故．

（2）当时，，，，．不满足．

（3）当时，，与相矛盾．

（4）当时，，，，，，，．显然满足，．

∴．

故所求的自然数为2000．