Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）上一定点P（x₀，y₀）（y＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，
y₁），B（x₂，y₂），
（Ⅰ）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，
又抛物线的准线方程为，
由抛物线定义得，所求距离为；
（Ⅱ）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，
由，
相减得，
故，
同理可得，
由PA，PB倾斜角互补知，
即，
所以，
设直线AB的斜率为k_AB，
由，
相减得，
所以，
将代入得，
所以k_AB是非零常数。