题目内容
如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l交抛物线于A、B两点，若|AF|=3，则此抛物线方程为（ ）分析：先根据抛物线定义以及有一个角是60°的直角三角形的性质，证明|AF|=3|BF|，再根据|AF|=3，求出|AB|长，设出直线AB方程，与抛物线方程联立，利用抛物线中焦点弦公式，把|AB|长用含p的式子表示，由|AB|=4，解出p值．
解答：解：
过点A，B向准线x=-
作垂线，垂足分别为C，D，过B点向AC作垂线，垂足为E
∵A，B两点在抛物线y=2px上，∴|AC|=|AF|，|BD|=|BF|
∵BE⊥AC，∴|AE|=|AF|-|BF|，
∵直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|
即2（|AF|-|BF）=|AF|+|BF|，∴|AF|=3|BF|
∵|AF|=3，∴|BF|=1，∴|AB|=|AF|+|BF|=4
设直线AB方程为y=
（x-
），代入y2=2px，得，
3x2-5px+
=0，
∴x1+x2=
∴|AB|=x1+x2+
=
+
=4
∴P=
，∴抛物线方程为y2=3x
故选A
过点A，B向准线x=-| p |
| 2 |
∵A，B两点在抛物线y=2px上，∴|AC|=|AF|，|BD|=|BF|
∵BE⊥AC，∴|AE|=|AF|-|BF|，
∵直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|
即2（|AF|-|BF）=|AF|+|BF|，∴|AF|=3|BF|
∵|AF|=3，∴|BF|=1，∴|AB|=|AF|+|BF|=4
设直线AB方程为y=
| 3 |
| p |
| 2 |
3x2-5px+
| p2 |
| 4 |
∴x1+x2=
| 5p |
| 3 |
∴|AB|=x1+x2+
| P |
| 2 |
| 5p |
| 3 |
| P |
| 2 |
∴P=
| 3 |
| 2 |
故选A
点评：本题主要考察了应用抛物线定义求弦长，做题时要善于转化．
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